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I.6. BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL
ANTECEDENTES
Con el último resultado del apartado anterior podemos concluir que en cualquier subespacio vectorial W siempre podemos encontrar un sistema de generadores cuyos vectores sean linealmente independientes. Esta característica además permite deducir que el número de vectores de un conjunto de vectores de V linealmente independientes, no puede ser superior al número de vectores precisos para generar V es decir
{nº máximo de vectores l.i. en V} 
{nº mínimo de vectores precisos para generar V}
Reflexionemos sobre la siguiente cuestión.
¿Cuántos vectores pueden ser como máximo l.i. en R3?
¿Cuántos vectores son precisos como mínimo para generar R3?
Contestando a estas cuestiones obtendríamos una intuición concreta de la idea que acabamos de reseñar.
Pero vamos a ahondar en esta cuestión estudiando de qué forma se representan los elementos de un vector de W a partir de un sistema de generadores de W.
Ejemplo
Sea W={(x,y,z)/x+y+z=0}
Los conjuntos de vectores
G1={(-1,1,0),(-1,0,1)} y G2={(-1,1,0),(-1,0,1),(-2,1,1)}
son ambos sistemas de generadores de W. (Se puede comprobar con DERIVE)
Mientras que G1 es un conjunto L.I. pues si efectuamos en DERIVE:
Por otro lado G2 es L.D. ya que si efectuamos:
Al ser dos sistemas de generadores, cualquier vector del subespacio se podrá expresar como combinación lineal de cada uno de los vectores del conjunto. Tomemos un vector cualquier del subespacio, por ejemplo (3,0,-3).
¿Cuál será la combinación lineal de vectores de G1 para obtener el vector (3,0,-3)?
Utilicemos DERIVE. Para resolver esta cuestión debemos plantear la ecuación vectorial
que al simplificar nos da el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas siguiente:
cuya solución es
Por tanto el vector (3,0,-3) se representaría a través de G1 mediante la combinación lineal que toma como valores (0,3).
¿Cuál será la combinación lineal de vectores de G2 para obtener el vector (3,0,-3)?
Si usamos DERIVE, plantearemos la ecuación
que al simplificar nos da el sistema
cuya solución es
Por tanto, en este caso tenemos infinitas combinaciones lineales, por ejemplo podríamos decir que
con @2=1
(3,0,-3) = (-1,1,0)-2(-1,0,1)-(-2,1,1)
con @2=2
(3,0,-3) = 2(-1,1,0)-(-1,0,1)-(-2,1,1)
y así sucesivamente.
¿Por qué se dá esta diferencia entre dos sistemas de generadores que generan el mismo subespacio?
La respuesta es bien sencilla:
Un vector de un subespacio vectorial W se genera de FORMA ÚNICA por sistemas de generadores de W que sean L.I.; y por el contrario existen infinitas formas de generar un vector del subespacio W mediante sistemas de generadores de W que sean L.D.
Practiquemos más sobre estas cuestiones mediante el siguiente ejercicio:
Ejercicio I.27
Dado el subespacio vectorial 
a) Obtener dos sistemas de generadores de W uno L.I. G1 y otro L.D. G2
b) Obtener la combinación o combinaciónes lineales de vectores de G1 y G2 necesarias para obtener el vector (0,1,2,-1) de W.
Por tanto resultaría muy interesante tomar sistemas de generadores linealmente independientes de un subespacio vectorial W, ya que estos conjuntos de vectores determinan de FORMA UNÍVOCA cualquier vector del subespacio. Por este motivo se introduce el concepto de BASE DE UN SUBESPACIO VECTORIAL.
Definición BASE DE UN SUBESPACIO VECTORIAL
Sea 
un conjunto de vectores del subespacio vectorial W.
Diremos que B es una BASE de este subespacio vectorial si y sólo si:
1) B es un SISTEMA DE GENERADORES de W
2) B es un conjunto LINEALMENTE INDEPENDIENTE.
Ejercicio I.28
Encontrar una base B del subespacio vectorial
y representar el vector (1,1,-1,2) mediante los elementos de dicha base.
¿Cuál es la ventaja que tiene la base B de un subespacio vectorial?
La ventaja es evidente: TODO VECTOR del subespacio vectorial se puede expresar de forma única a través de los vectores de la base B. En consecuencia, los valores o parámetros de la combinación lineal de vectores de B que representan a cualquier vector del subespacio W, son valores únicos para esta base. Esta situación puede permitirnos definir el concepto de COORDENADA:
Definición: COORDENADA
Sea 
una base del subespacio vectorial W y sea 
un vector de W.
Diremos que 
son las coordenadas del vector 
respecto de la base B si y sólo si se verifica que
Veamos a continuación un ejemplo de cómo obtener las coordenadas de un vector respecto de una base con ayuda de DERIVE:
Ejemplo.
Dado el subespacio vectorial 
.
Una base de dicho subespacio sería por ejemplo la formada por: el conjunto de vectores
B={(-1,0,2,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)} basta obtener las ecuaciones paramétricas del subespacio.
Pues bien si tomamos un vector cualquier del subespacio, por ejemplo el vector (-2,3,4,2) ¿cuáles serán las coordenadas de ese vector respecto de la base obtenida B?
Para obtenerlas basta con encontrar la combinación lineal de los vectores de la base B mediante la cual podemos obtener el vector dado, es decir, plateamos en DERIVE la ecuación vectorial
al simplificarla obtenemos el sistema de ecuaciones
y al resolverlo resultan los valores
lo cual indica que el vector (-2,3,4,2) = (2,3,2)B que son sus coordenadas en la base B.
Si tomamos una base distinta por ejemplo
B2={(1,0,-2,0),(0,2,0,1),(0,0,0,1)} el mismo vector (-2,3,4,2) tendrá unas coordenadas distintas.
En este caso la ecuación vectorial a resolver sería
es decir, el sistema de ecuaciones
cuya solución es
Luego en este caso el vector (-2,3,4,2) tiene de coordenadas (-2,3/2,1/2) en la nueva base B2.
Así pues, aunque una base determina de forma unívoca a cada vector de un subespacio vectorial, sin embargo bases distintas proporcionan coordenadas distintas a un mismo vector de un determinado subespacio.
Ejercicio I.29
Dados los conjuntos de vectores
B1={(1,2,3),(0,0,1),(-1,1,0)}
B2={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}
B3={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
Se pide:
a) Comprobar si son bases de R3.
b) Obtener las coordenadas del vector (3,2,-1) respecto de los conjuntos anteriores que sean base.
PROPIEDADES IMPORTANTES DE LAS BASES.
1. DIMENSIÓN DE UN SUBESPACIO.
Hasta ahora venimos hablando de espacios vectoriales generados por un número finito de vectores (llamados también espacios vectoriales finitos) y hemos venido observando que las bases de un subespacio tienen una característica común: TIENEN EL MISMO NÚMERO DE ELEMENTOS.
Este número invariante en cualquier base del subespacio vectorial recibe el nombre de DIMENSIÓN DEL SUBESPACIO VECTORIAL.
En consecuencia todo espacio vectorial finito está generado por un número fijo de vectores linealmente independientes, la dimensión del espacio.
Ejercicio I.30
Dado el subespacio vectorial 
se pide calcular la dimensión del subespacio.
2. BASE CANÓNICA DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si consideramos el espacio vectorial (R3,+.R) podremos encontrar infinidad de bases todas ellas formadas por 3 vectores, pero una de las bases de este espacio vectorial Bc={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} tiene una propiedad importante: cualquier vector del espacio vectorial verifica que sus componentes coinciden con sus coordenadas respecto de la base canónica.
Este tipo de bases se llaman BASES CANÓNICAS.
Ejercicio I.31
Sea el espacio vectorial (R5,+,.R). Obtener tres bases del espacio vectorial (una de ellas la canónica) y obtener las coordenadas del vector (3,2,0,1,0) respecto de dichas bases.
3. RELACIÓN QUE GUARDAN LA ECUACIONES CARTESIANAS DE UN SUBESPACIO CON SU DIMENSIÓN.
Ejercicio I.32.
Sea el subespacio vectorial
Se pide:
a) Obtener la dimensión de dicho subespacio.
b) De las tres ecuaciones cartesianas que definen el subespacio, ¿existe alguna que sea redundante? ¿Cuántas ecuaciones cartesianas no redundantes tiene W?
c) Deduce alguna relación entre la dimensión del subespacio y el número de ecuaciones no redundantes.
A partir del ejercicio anterior se puede obtener una intuición de la propiedad que guardan la dimensión de un subespacio vectorial y el número de sus ecuaciones no redundantes, de tal forma que se verifica:
Si W es un subespacio vectorial de V (espacio vectorial finito) entonces
dim(V)- dim(W) = n-m= número de ecuaciones no redundantes
Así pues para caracterizar un subespacio vectorial en base a sus ecuaciones cartesianas, son precisas n-m ecuaciones cartesianas no reduntantes que relacionen sus componentes.
4. PROLONGACIÓN DE UNA BASE
Consideremos el subespacio vectorial
Se trata de un subespacio vectorial de dimensión 2 (núm. ecuaciones no redundantes =1, y dim(R3)=3).
Una base de W podría ser el conjunto de vectores BW={(1,0,1),(0,1,0)}
¿Podríamos conseguir una base de R3, a partir de estos dos vectores que configuran la base de W?
Para contestar a esta pregunta únicamente necesitaría encontrar un tercer vector que no esté en W; por ejemplo sea el vector (2,0,1).
Con este nuevo vector, que claramente no está en W, podría construir el conjunto de vectores
B={(1,0,1),(0,1,0),(2,0,1)}
¿B es una base de R3?
Si estos tres vectores fuesen l.i. , ya tendríamos la base. Si planteamos en DERIVE la ecuación vectorial
al simplificar obtenemos el sistema
cuya única solución es
Por tanto los tres vectores son l.i. , y en consecuencia he conseguido obtener una base de R3 PROLONGANDO una base de un subespacio vectorial suyo.
Esto se puede realizar siempre en espacios vectoriales finitos.
Ejercicio I.32.
Dado el subespacio vectorial de R5
Se pide:
a) Obtener una base B1 de W
b) Obtener una base B2 de R5 mediante una prolongación de la base obtenida para W.
c) Obtener la coordenadas del vector de W (1,1,-2,-1,3) en las bases B1 y B2. ¿Observas alguna característica? Enunciala y compruebala con otros ejemplos.
5. BASES ORTONORMALES Y BASES ORTOGONALES.
BASES ORTOGONALES.
Diremos que B es una base ortogonal de V si el producto escalar de dos vectores cualesquiera de la base siempre es nulo, o dicho de otra forma si todos los vectores son perpendiculares dos a dos.
BASES ORTONORMALES
Diremos que B es una base ortonormal de V si
a) B es una base ortogonal
b) Todos los vectores de B son unitarios.
Ejercicio I.33.
Sea B={(1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1)}. Se pide
a) Comprobar que B es una base ortogonal de R3?
b) Construir una base ortonormal de R3 a partir de la base anterior.
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