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EJERCICIOS

ejercicio 1:

CRIPTOGRAFIA ,EL ARTE DE LA ESCRITURA SECRETA

Se requiere enviar un mensaje que de ser interceptado no se pueda entender facilmente .El mensaje es CONTACT CIA IN SUPERIOR.
El primer paso consiste en establacer un codigo que transforme las letras en numeros.Por ejemplo:
 a=26 b=25 c=24 d=23 e=22 f=21 g=20 h=19 i=18 j=17 k=16 l=15 m=14 n=13 o=12 p=11 q=10 r=9 s=8 t=7 u=6 v=5 w=4 x=3 y=2 z=1
 empleando este codigo el mensaje se convierte en 24,12,13,7,26,24,7,24,18,13,8,6,11,22,9,18,12,9.Para evitarlo ,se construye una matriz 4x5(el mensaje tiene 20 letras).

      ⎡ 24  26  18   8   9 ⎤

                         

      ⎢ 12  24  26   6  18 ⎥

A=:                      

      ⎢ 13   7  18  11  12 ⎥

                         

       7  24  13  22   9 ⎦

 

Luego se esoge una matriz invertible 4x4 por ejemplo,

       0  -1  1  0 ⎤

                   

      ⎢ -2   0  0  1 ⎥

B=:                

       0  -2  1  0 ⎥

                   

      ⎣ -3   0  0  1 ⎦

el mensaje se enviara por medio de BA

      ⎡ 24  26  18   8   9 ⎤

                         

      ⎢ 12  24  26   6  18 ⎥

BA=:                     

      ⎢ 13   7  18  11  12 ⎥

                         

       7  24  13  22   9 ⎦

El receptor ,quien tiene en su poder la matriz

         0  -1  1  0 ⎤

                     

        ⎢ -2   0  0  1 ⎥

inv(B)=              

         0  -2  1  0 ⎥

                     

        ⎣ -3   0  0  1 ⎦

Pasa alla la inversa de una matriz en derive se tiene q colocar lo siguiente

 Editando “B^(-1)=” resulta lo anteriormente puesto

 

decifrara el mensaje calculando lo siguiente:
             ⎡ 24  26  18   8   9 ⎤
                                
             ⎢ 12  24  26   6  18 ⎥
                                
inv(B)(BA)=  ⎢ 13   7  18  11  12 ⎥
                                
              7  24  13  22   9 ⎦

 

ejercicio 2:

 

 

 

Una compañía constructora almacena tres mezclas básicas A, B y C. Las cantidades se miden en gramos y cada "unidad" de mezcla pesa 60 gramos. Pueden formularse mezclas especiales de argamasa efectuando combinaciones de las tres mezclas básicas. Por ello, las mezclas especiales posibles pertenecen al espacio generado por los tres vectores que representan las tres mezclas básicas. La composición de éstas es:
 
 
 
 

 
A
B
C
Cemento
20
18
12
Agua
10
10
10
Arena
20
25
15
Grava
10
5
15
Tobas
0
2
8
  1. ¿Es posible hacer una mezcla que consiste en 1.000 g. de cemento, 200 g. de agua, 1.000 g. de arena, 5000 g. de grava y 300 g. de tobas? ¿Por qué se puede o por qué no?. Si se puede, ¿cuántas unidades de cada mezcla básica A, B y C se necesitan para formular la mezcla especial?
  2. Supóngase que se desean hacer 5.400 g. de argamasa de manera que contenga 1.350 g. de cemento, 1.675 g. de arena y 1.025 g. de grava. Si la razón de agua a cemento es de 2 a 3, ¿qué cantidad de tobas debe utilizarse para obtener los 5.400 g. de argamasa? ¿Se puede formular esta masa como una mezcla especial? Si es así, ¿cuántas unidades de la mezcla A, B y C se necesitan para formular la mezcla especial?

#1:   =================================================

 

#2:   = SOLUCION AL PROBLEMA 2 ======================

 

#3:   =================================================

 

#4:   Las tres mezclas básicas son

 

#5:   la de tipo A que podemos representar por el vector

 

#6:   mezcla_a ≔ [20, 10, 20, 10, 0]

 

#7:   la de tipo B que podemos representar por el vector

 

#8:   mezcla_b ≔ [18, 10, 25, 5, 2]

 

#9:   y la mezcla de tipo C que podemos representar por el vector

 

#10:  mezcla_c ≔ [12, 10, 15, 15, 8]

 

#11:  (a)

 

#12:  En el enunciado del problema, se afirma que las

 

#13:  mezclas especiales posibles pertenecen al espacio

 

#14:  generado por los tres vectores que representan

 

#15:  las tres mezclas básicas. Por tanto en este

 

#16:  apartado tenemos que intentar ver si el vector

 

#17:  de la nueva mezcla, llamemosle    n

 

#18:  n ≔ [1000, 200, 1000, 500, 300]

 

#19:  es combinación lineal de los vectores iniciales

 

#20:  mezcla_a, mezcla_b y mezcla_c, es decir

 

#21:  hay que intentar ver si existen valores a,b,c

 

#22:  tales que

 

#23:  n = a·mezcla_a + b·mezcla_b + c·mezcla_c

 

#24:  simplificando la expresión anterior resulta

 

#25:  [1000 = 20·a + 18·b + 12·c, 200 = 10·a + 10·b + 10·c, 1000 = 20·a

 

        + 25·b + 15·c, 500 = 10·a + 5·b + 15·c, 300 = 2·b + 8·c]

 

#26:  si intentamos resolver este sistema con SOLVE

 

#27:  obtenemos el mensaje  NO SOLUTION FOUND

 

#28:  lo cual quiere decir que no es posible obtner la mezcla

 

#29:  pedida a partir de las tres mezclas básicas.

 

#30:  b)

 

#31:  Ahora lo que se desea obtener es:

 

#32:  CEMENTO:  1350 g.

 

#33:  AGUA.  no nos da la cantidad pero indican que la razón

 

#34:       de agua cemento es de 2 / 3, es decir

 

         x      2

#35:  ⎯⎯⎯⎯ = ⎯

       1350     3

 

#36:  resolviendo

 

#37:  x = 900

 

#38:  Por tanto AGUA: 900 g.

 

#39:  ARENA 1675 g.

 

#40:  GRAVA: 1025 g.

 

#41:  TOBAS:  no nos da la cantidad pero como el total de

 

#42:        argamasa es de 5.400  entonces restando

 

#43:       las cantidades anteriores tenemos

 

#44:  5400 - (1350 + 900 + 1675 + 1025) = 450

 

#45:  por tanto TOBAS: 450 g.

 

#46:  A la pregunta de si esta mezcla se puede obtener

 

#47:  debemos plantear la nueva mezcla, llamemosla  m

 

#48:  m ≔ [1350, 900, 1675, 1025, 450]

 

#49:  veamos nuevamente si este vector se puede escribir

 

#50:  como combinación lineal de las tres mezclas

 

#51:  m = a·mezcla_a + b·mezcla_b + c·mezcla_c

 

#52:  simplificando

 

#53:  [1350 = 20·a + 18·b + 12·c, 900 = 10·a + 10·b + 10·c, 1675 = 20·a

 

        + 25·b + 15·c, 1025 = 10·a + 5·b + 15·c, 450 = 2·b + 8·c]

 

#54:  resolviendo

 

#55:  [a = 15, b = 25, c = 50]

 

#56:  luego necesitaremos

 

#57:  15 unidades de la mezcla A

 

#58:  25 unidades de la mezcla B

 

#59:  50 unidades de la mezcla C


Problema 2. 

EJERCICIO 3

#1:   DEMOSTRAR SI B={(2,1,4),(-8,7,10),(2,-7,5)}ES UNA BASE PARA EL

 

        ESPACION R3

 

#2:   EN PRIMER LUGAR DEBEMOS DEMOSTRAR QUE B ES LINEALMENTE

 

        INDEPENDIENTE

 

#3:   p·[2, 1, 4] + q·[-8, 7, 10] + r·[2, -7, 5] = [0, 0, 0]

 

#4:   SOLVE(p·[2, 1, 4] + q·[-8, 7, 10] + r·[2, -7, 5] = [0, 0, 0], [p,

 

        q, r], Real)

 

#5:                         p = 0 ∧ q = 0 ∧ r = 0

 

#6:   POR LO TANTO ES UN CONJUNTO LINEALMENTE INDEPENDIENTE

 

#7:   AHORA DEMOSTREMOS SI ES UN CONJUNTO GENERADOR

 

#8:   [x, y, z] = a·[2, 1, 4] + b·[-8, 7, 10] + c·[2, -7, 5]

 

#9:     x = 2·a - 8·b + 2·c ∧ y = a + 7·b - 7·c ∧ z = 4·a + 10·b + 5·c

 

#10:  SOLVE(x = 2·a - 8·b + 2·c ∧ y = a + 7·b - 7·c ∧ z = 4·a + 10·b +

 

        5·c, [c, b, a], Real)

 

             9·x + 26·y - 11·z         2·(y + 8·z) - 33·x        

#11:  c = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∧ b = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∧ a =

                    219                        438               

 

         35·x + 2·(10·y + 7·z)

        ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

                  146          

 

#12:  POR LO TANTO ES UN CONJUNTO GENERADOR

 

      ⎡ 0  0  0 ⎤

#13:          

      ⎣ 2  1  4 ⎦

 

       0  0   0 ⎤

#14:            

      ⎣ -8  7  10 ⎦

 

      ⎡ 0   0  0 ⎤

#15:           

      ⎣ 2  -7  5 ⎦



http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/portega/web-algebra/capitulo-1/problema-1/problemas-1.html






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